정의

두 다항식 $f(x)$와 $g(x)$에 대하여 $g(x)=f(x)q(x)$인 다항식 $q(x)$가 존재하면 다항식 $f(x)$는 다항식 $g(x)$를 나눈다 고 정의한다.

실수계수 다항식에서 성립하는 다항식의 나눗셈 정리는 임의의 체의 원소를 꼐수로 하는 다항식에도 성립한다.

다항식의 나눗셈 정리(Division Algorithm for Polynominals)

$n$차 다항식 $f(x)$와 $m$차 다항식 $g(x)$에 대하여 (단, $m \geq 0$), 다음을 만족하는 다항식 $q(x)$와 $r(x)$가 유일하게 존재한다. $$f(x)=q(x)g(x)+r(x)$$이때, $r(x)$의 차수는 $m$보다 작다.

증명

$$f(x)=q(x)g(x)+r(x)$$위를 만족하는 다항식 $q(x)$와 $r(x)$가 존재함을 보이자.

  1. $n<m$일 때, $q(x)=0, r(x)=f(x)$이면 위 식을 만족한다.
  2. $0 \leq m \leq n$일 때, $n$에 대해 수학적 귀납법을 적용하면 $n=0$이면 $m=0$이고, $n>0$이면, $$\begin{matrix}f(x) &=& a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + … + a_1x + a_0 \\\ g(x) &=& b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + … + b_1 x + b_0 \\\ h(x) &=& f(x)-a_n b_m ^ {-1} x^{n-m}\end{matrix}$$이고 $h(x)$는 $k<n$의 차수를 갖는다. 수학적 귀납법의 가정에 따라, 다음을 만족하는 다항식 $q_1(x)$와 차수가 $m$ 이하인 다항식 $r(x)$가 존재한다. 따라서, $$h(x)=q_1(x)g(x)+r(x)$$위의 식을 결합하고 $f(x)$에 대해 정리하면 $$f(x)=q(x)g(x)+r(x)=a_n b_m ^ {-1} x^{n-m} + q_1(x)$$수학적 귀납법의 가정에 의해 $q(x)$와 $r(x)$의 존재성이 증명되었다.

2에서 $q(x)$와 $r(x)$의 유일성 증명은 다음 문단에서 다루도록 하자.

유일성의 증명

유일성을 증명하기 위한 가장 간단한 방법은 서로 다른 2개가 존재한다고 가정 하고, 이 2개가 동일함을 보이면 된다. 모순으로 증명하기.

$q_1(x), q_2(x), r_1(x), r_2(x)$가 존재한다고 가정하자. $$f(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x)=q_2(x)g(x)+r_2(x)$$이고, $r_1(x), r_2(x)$의 차수는 $m$ 미만이다. 이제 식을 $g(x)$에 대하여 정리하면, $$(q_1(x)-q_2(x))g(x)=r_2(x)-r_1(x)$$여기에서 우변의 차수는 $m$ 미만이고, $g(x)$의 차수는 $m$이므로, $q_1(x)-q_2(x)=\dfrac{1}{x}$ 인 거지 같은 경우를 가정하지 않는 이상 (반대로 말하자면 이런 거지 같은 경우에서는 예외 ), $q_1(x)-q_2(x)=0$은 영다항식이므로 유일성이 증명되었다.