정의

두 집합 $A, B$에 대하여 $A$의 각 원소 $x$에 $B$의 유일한 원소 $f(x)$를 대응시키는 규칙을 $A$에서 $B$로 가는 함수(function) $f$ 라 하고, $f: A \to B$로 표기한다.

상, 원상

상 (image)

$f: A \to B$ 혹은 $f(x)$에서 $f(x)$를 $f$에 의한 $x$의 상(image) 이라 한다.

원상(preimage)

$f(x)$에서 $x$를 $f$에 의한 $f(x)$의 원상(preimage) 라 한다.

정의역, 공역, 치역

정의역(domain)

$$f: A \to B$$일 때 $A$를 $f$의 정의역(domain) 이라 한다.

공역(codomain)

$$f: A \to B$$일 때 $B$를 $f$의 공역(codomain) 이라 한다.

치역(range)

$$f: A \to B$$일 때, 집합 $[f(x)| x \in A]$를 $f$의 치역(range) 이라고 한다.

$f$의 치역은 $B$의 부분집합이다. ($f(x) \subseteq B$)

함수와 역함수

함수

$$S \subseteq A$$일 때, $S$의 모든 원소의 상을 원소로 하는 집합 $$[f(x)|x \in S]$$를 $f(S)$라 표기한다.

역함수

$$T \subseteq B$$일 때, $T$의 모든 원소의 원상을 원소로 하는 집합 $$[x \in A|f(x) \in T]$$를 $f^{-1}(T)$로 표기한다.

함수의 동치

두 함수 $$f: A \to B$$$$g: A \to B$$가 모든 $x \in A$에 대하여 $$f(x)=g(x)$$이면 두 함수는 같다(equal)고 하며, $f=g$로 표기한다.

단사함수, 전사함수

단사함수, 일대일 함수

$$f(x)=f(y) \Rightarrow x=y$$를 만족하면 $f: A \to B$는 단사함수이다.

전사함수, onto

$$f: A \to B$$에서 $$f=B$$를 만족하면, 즉 $f$의 치역이 $f$의 공역과 일치하면, $f: A \to B$는 전사함수이다.

제한, 합성

제한, Restriction

$$f: A \to B$$$$S \subseteq A$$에서 각 $x \in S$에 대해 $$f_S(x) = f(x)$$로 정의한 함수 $$f_S: S \to B$$를 $f$를 $S$로 제한(restriction) 한 함수라 한다.

예제

$$f: [-1,1] \to [0,1]$$을 $$f(x)=x^2$$로 정의하자. $$f=[0,1]$$이므로 $f$는 전사함수이지만 $$f(-1)=f(1)=1$$이므로 단사함수는 아니다.

$$S=[0,1]$$에 대하여, $f_S$는 $$f_S=[0,1]$$이고 $$f_S(x)=f_S(y) \implies x = y$$이므로 $f_S$는 전사이자 단사이다.

$$T=[\dfrac{1}{2},1]$$$$f_T(x)=f_T(y) \implies x=y$$ $$f_T = [\dfrac{1}{4},1] \neq T$$이므로 $f_T$는 단사이지만 전사가 아니다..

합성, Composition

세 집합 $A,B,C$와 두 함수 $$f: A \to B$$$$G: B \to C$$에 대해, $$g \circ f: A \to C$$를 $g$와 $f$의 합성(Composition) 이라 한다.

모든 $x \in A$에 대하여 $$(g \circ f)(x) = g(f(x))$$

또한, 함수의 합성은 결합법칙이 성립한다. $$h: C \to D$$$$h \circ (g \circ f)=(h \circ g) \circ f$$

가역, 역함수2

가역(invertible)

$$f: A \to B$$$$y \in B$$에 대하여 $$(f \circ g)(y) = y, x \in A$$에 대하여 $$(g \circ f)(x)=x$$인 함수 $$g: B \to A$$가 존재하면 함수 $f$를 가역(invertible) 이라 한다.

역함수2

이러한 함수 $g$는 유일하며, $f$의 역함수이고, $f^{-1}$로 표기한다.

$f$가 가역일 필요충분조건은 $f$가 단사이며 전사인 것이다.

기타

다음 성질은 쉽게 증명할 수 있다.

  1. $f: A \to B$가 가역이면 $f^{-1}$은 가역이고 $(f^{-1})^{-1}=f$이다.
  2. $f: A \to B$와 $g: B \to C$가 가역이면 $g \circ f$는 가역이고 $(g \circ f)^{-1}=f^{-1} \circ g^{-1}$이다.