정의 두 다항식 $f(x)$와 $g(x)$에 대하여 $g(x)=f(x)q(x)$인 다항식 $q(x)$가 존재하면 다항식 $f(x)$는 다항식 $g(x)$를 나눈다 고 정의한다. 실수계수 다항식에서 성립하는 다항식의 나눗셈 정리는 임의의 체의 원소를 꼐수로 하는 다항식에도 성립한다. 다항식의 나눗셈 정리(Division Algorithm for Polynominals) $n$차 다항식 $f(x)$와 $m$차 다항식 $g(x)$에 대하여 (단, $m \geq 0$), 다음을 만족하는 다항식 $q(x)$와 $r(x)$가 유일하게 존재한다. $$f(x)=q(x)g(x)+r(x)$$이때, $r(x)$의 차수는 $m$보다 작다. 증명 $$f(x)=q(x)g(x)+r(x)$$위를 만족하는 다항식 $q(x)$와 $r(x)$가 존재함을 보이자. $n<m$일 때, $q(x)=0, r(x)=f(x)$이면 위 식을 만족한다....

개요 대수학에서는 실수체만으로 이론을 전개하기 어려울 때가 많다. 계수가 실수이고 상수가 아닌 다항식을 실수체에서 해가 없을 수도 있다. $x^2=1$이 그렇다. 체의 원소를 계수로 가지고 상수항이 아닌 임의의 다항식이 이 체에서 해가 있어야 할 때가 있다. 실수체를 확장하면 조건을 만족하는 체를 얻을 수 있다. 정의 $$z=a+bi$$에 대하여 $a$는 $z$의 실수부이고 $b$는 $z$의 허수부이다. 합과 곱은 다음과 같이 정의된다. $$z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$$$zw=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i$$ 복소수의 곱셈에 대한 역원 $$z \cdot z^{-1} = 1$$인 $z^{-1}$에 대하여 $$z^{-1}=(a+bi)^{-1}=(\dfrac{a}{a^2+b^2})-(\dfrac{b}{a^2+b^2})i$$...

개요 실수 집합은 체(field) 라 불리는 수학적 구조의 대표적인 예이다. 기본적으로 체는 원소를 0으로 나누는 것을 제외하면 두 원소의 합, 차, 곱, 나눗셈이 여전히 주어진 집합의 원소가 되도록 사칙연산이 부여된 집합이다. 정의 체 $F$는 두 연산 $+$와 $\cdot$(덧셈과 곱셈)이 주어진 집합이다. $$[(x,y)|x,y \in F]$$의 순서쌍에 대하여 $$x+y$$$$x \cdot y$$가 $F$에 유일하게 존재한다. 그리고 모든 원소 $$a,b,c \in F$$에 대하여 다음 조건이 성립한다. (F1) 덧셈과 곱셈에 대한 교환법칙 $$a+b=b+a,a \cdot b = b \cdot a$$ (F2) 덧셈과 곱셈에 대한 결합법칙 $$(a+b)+c=a+(b+c), (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$$ (F3) 덧셈과 곱셈에 대한 항등원 $$0+a=a, 1 \cdot a = a$$인 $0 \in F$와 $1 \in F (1 \neq 0)$이 존재한다....

정의 두 집합 $A, B$에 대하여 $A$의 각 원소 $x$에 $B$의 유일한 원소 $f(x)$를 대응시키는 규칙을 $A$에서 $B$로 가는 함수(function) $f$ 라 하고, $f: A \to B$로 표기한다. 상, 원상 상 (image) $f: A \to B$ 혹은 $f(x)$에서 $f(x)$를 $f$에 의한 $x$의 상(image) 이라 한다. 원상(preimage) $f(x)$에서 $x$를 $f$에 의한 $f(x)$의 원상(preimage) 라 한다. 정의역, 공역, 치역 정의역(domain) $$f: A \to B$$일 때 $A$를 $f$의 정의역(domain) 이라 한다. 공역(codomain) $$f: A \to B$$일 때 $B$를 $f$의 공역(codomain) 이라 한다....

정의 집합(set) 집합(set) 은 원소(element) 라 불리는 대상의 모임. $x$가 집합 $A$의 원소이면, $x \in A$, $x$가 집합 $A$의 원소가 아니라면 $x \not \in A$로 표기. 집합의 동치 집합 $A$와 집합 $B$의 모든 원소가 일치하면 두 집합은 동치 관계이며, $A=B$. 부분집합(subset) 집합 $B$의 모든 원소가 집합 $A$의 원소이면 집합 $B$는 $A$의 부분집합(subset)이며, $B \subseteq A$. $$ B \subseteq A \iff \forall x \in B, \exists y \in A \text{ s.t. } x=y $$...